Teorija

3. Tjedan

• Inverzna matrica, determinante i Cramerovo pravilo

---

Inverzna matrica

1. Definicija

Inverzna matrica $A^{-1}$ kvadratne matrice $A$ je matrica koja zadovoljava uvjet:
$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$
gdje je $I$ jedinična matrica. Inverzna matrica postoji samo ako je matrica $A$ kvadratna i ima nenultu determinantu (tj. matrica je regularna).

Primjer:

Za matricu $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$, inverzna matrica je:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\\\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}$

---

2. Računanje inverzne matrice

a) Korištenje determinanti i adjungirane matrice

Inverzna matrica se može izračunati pomoću formule:
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$
gdje je $\text{adj}(A)$ adjungirana matrica (transponirana matrica kofaktora).

Primjer:

Za matricu $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$:

• Determinanta: $\det(A) = (1)(4) - (2)(3) = -2$
• Adjungirana matrica: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\\\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
• Inverzna matrica: $A^{-1} = \frac{1}{-2} \cdot \begin{bmatrix} 4 & -2 \\\\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\\\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}$

---

b) KorištenjeGauss-Jordanove metode

Pronađimo inverznu matricu za:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

Koraci:

1. Postavljanje proširene matrice:
   $[A|I] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2. Normalizacija prvog elementa u gornjem lijevom kutu:
   Podijelimo prvi redak s $1$ (prvi element):
   $\begin{bmatrix} 1 & 2 & | & 1 & 0 \\\\ 3 & 4 &|& 0 & 1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 2 &|& 1 & 0 \\\\ 0 & -2 &|& -3 & 1 \end{bmatrix}$
   (Drugi redak smo ažurirali kao: $R_2 \to R_2 - 3R_1$)

3. Normalizacija drugog pivota:
   Podijelimo drugi redak s $-2$:
   $\begin{bmatrix} 1 & 2 &|& 1 & 0 \\\\ 0 & 1 &|& 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}$

4. Reduciranje drugog stupca u prvom retku:
   $R_1 \to R_1 - 2R_2$ daje:
   $\begin{bmatrix} 1 & 0 &|& -2 & 1 \\\\ 0 & 1 &|& 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}$

Rezultat:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\\\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}$

---

3. Primjena inverzne matrice

Inverzna matrica koristi se za rješavanje sustava linearnih jednadžbi $A \cdot x = b$:
$x = A^{-1} \cdot b$

Primjer:

Za sustav:
$\begin{cases} x + 2y = 5 \\\\ 3x + 4y = 6 \end{cases}$
Rješenje je:
$\begin{bmatrix} x \\\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\\\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\\\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\\\ 4.5 \end{bmatrix}$

---

Determinante

1. Definicija determinante

Determinanta kvadratne matrice $A$je skalar koji opisuje svojstva matrice, kao što su jedinstvenost rješenja sustava i volumen u geometriji. Označava se s $\det(A)$.

---

2. Osnovna svojstva determinanti

1. $\det(A^T) = \det(A)$
2. $\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$
3. Ako je matrica singularna ($\det(A) = 0$), nema inverznu matricu.
4. Zamjena dvaju redaka ili stupaca mijenja predznak determinante.

---

3. Računanje determinanti

a) Za $2 \times 2$ matrice

$\det\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$

Primjer:

$\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{pmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = -2$

---

b) Determinanta $3 \times 3$ matrice koristeći Sarrusovo pravilo

Pronađimo determinantu za:
$C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$

Koraci:

1. Proširimo matricu kopiranjem prva dva stupca na desnu stranu:
   $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 \\\\ 4 & 5 & 6 & 4 & 5 \\\\ 7 & 8 & 9 & 7 & 8 \end{bmatrix}$

2. Zbrojimo proizvode elemenata dijagonala:

   • Glavne dijagonale:
     $(1)(5)(9) + (2)(6)(7) + (3)(4)(8) = 45 + 84 + 96 = 225$
   • Suprotne dijagonale:
     $(3)(5)(7) + (2)(4)(9) + (1)(6)(8) = 105 + 72 + 48 = 225$

3. Izračunamo razliku:
   $\det(C) = 225 - 225 = 0$

Rezultat:
$\det(C) = 0$

---

Podmatrice i poddeterminante

1. Definicija podmatrice

Podmatrica se dobiva uklanjanjem određenih redaka i/ili stupaca iz matrice.

Primjer:

Za matricu $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$, podmatrica dobivena uklanjanjem prvog retka i drugog stupca je:
$\begin{bmatrix} 4 & 6 \\\\ 7 & 9 \end{bmatrix}$

2. Poddeterminante

Determinanta podmatrice dobivena uklanjanjem jednog retka i stupaca naziva se minors.

3. Kofaktori

Kofaktor je determinanta podmatrice uz predznak $(-1)^{i+j}$, gdje su $i$ i $j$ indeks uklonjenog retka i stupca.

---

Laplaceov razvoj determinante

1. Definicija

Determinanta matrice se može izračunati razvojem po retku ili stupcu:
$\det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot C_{ij}$
gdje je $C_{ij}$ kofaktor elementa $a_{ij}$.

---

2. Koraci Laplaceovog razvoja

Pronađimo determinantu za:
$B = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\\\ 1 & -1 & 2 \\\\ 3 & 4 & -1 \end{bmatrix}$

Koraci:

1. Odaberemo prvi redak za razvoj:
   $\det(B) = 2 \cdot \det\begin{bmatrix} -1 & 2 \\\\ 4 & -1 \end{bmatrix} - 3 \cdot \det\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & -1 \end{bmatrix} + 1 \cdot \det\begin{bmatrix} 1 & -1 \\\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

2. Računanje determinati:
   $\det\begin{bmatrix} -1 & 2 \\\\ 4 & -1 \end{bmatrix} = (-1)(-1) - (2)(4) = 1 - 8 = -7$
   $\det\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & -1 \end{bmatrix} = (1)(-1) - (2)(3) = -1 - 6 = -7$
   $\det\begin{bmatrix} 1 & -1 \\\\ 3 & 4 \end{bmatrix} = (1)(4) - (-1)(3) = 4 + 3 = 7$

3. Uvrštavanje u formulu:
   $\det(B) = 2(-7) - 3(-7) + 1(7)$
   $= -14 + 21 + 7$
   $= 14$

Rezultat:
$\det(B) = 14$

---

Cramerovo pravilo

1. Definicija

Cramerovo pravilo koristi determinante za rješavanje sustava linearnih jednadžbi $A \cdot x = b$, gdje je $A$ kvadratna matrica.

2. Formula za rješenje

Za svaku nepoznanicu $x_i$:
$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$
gdje je $A_i$ matrica dobivena zamjenom $i$-tog stupca matrice $A$ s vektorom $b$.

3. Uvjet primjene

Cramerovo pravilo može se koristiti samo ako je $\det(A) \neq 0$ (matrica $A$ je regularna).

---

4. Primjene i prednosti

Cramerovo pravilo je elegantno za rješavanje sustava s malim brojem jednadžbi, ali nije učinkovito za velike sustave.

Primjer:

Za sustav:
$\begin{cases} x + 2y = 5 \\\\ 3x + 4y = 6 \end{cases}$
Matrica $A$ i vektor $b$ su:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} 5 \\\\ 6 \end{bmatrix}$
Rješenje je:
$x = \frac{\det\begin{bmatrix} 5 & 2 \\\\ 6 & 4 \end{bmatrix}}{\det(A)} = \frac{8}{-2} = -4$
$y = \frac{\det\begin{bmatrix} 1 & 5 \\\\ 3 & 6 \end{bmatrix}}{\det(A)} = \frac{-9}{-2} = 4.5$

Vježbe

zadaci

Ispit

Što je inverzna matrica matrice $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$?

$\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

Koja je determinanta matrice $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\\\ 1 & 4 \end{bmatrix}$?

5

5

7

8

Koja je inverzna matrica matrice $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$?

$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

Koja je determinanta matrice $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 4 & 5 \\\\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$?

12

18

20

24

Koja je pridružena matrica (transponirana matrica kofaktora) matrice $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$?

$\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$